الفلك

مداران جسمان متساويان في الكتلة

مداران جسمان متساويان في الكتلة


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

بالنظر إلى جسمين متساويين في الكتلة في مدار بيضاوي:

أعلم أنهم سوف يدورون حول مركز مشترك للكتلة ، أي مركز الثقل. ولكن ، هل يجب أن تكون السرعات متساوية في الحجم ومعاكسة في الاتجاه (عادي لـ R عندما تكون R هي المسافة بينهما) حتى يكون المدار مستقرًا؟ أعتقد أنه إذا تغيرت سرعة كتلة واحدة فيما يتعلق بالأخرى ، فسيؤدي ذلك إلى إنشاء مركز ثقل متحرك تصطدم فيه الكتلتان أو ترمي بأخرى خارج المدار ، لكن لا يمكنني العثور على أي تحقق رياضي من هذا .


أعلم أنهم سوف يدورون حول مركز مشترك للكتلة ، أي مركز الثقل. ولكن ، هل يجب أن تكون السرعات متساوية في الحجم ومعاكسة في الاتجاه (عادي لـ R عندما تكون R هي المسافة بينهما) حتى يكون المدار مستقرًا؟

لا يجب أن تكون السرعات المدارية وبوجه عام ليست متساوية في الحجم. ما يساوي السرعة الزاوية، هذا هو المعدل الزاوي (على سبيل المثال ، بالدولار rad / sec $) الذي يدور فيه جسمان حول مركزهما المشترك. نصف القطر المداري ، $ r $ ، السرعة المدارية ، $ v $ ، والسرعة الزاوية $ omega $ ، مرتبطان بالمعادلة

$$ أوميغا = v / r $$

لاحظ أن هذه كلها كميات قياسية ويمكن اعتبار $ v $ مكونًا لمتجه السرعة المتعامد مع $ r $. نظرًا لأن الحفاظ على الزخم الزاوي يعني أن $ omega $ تظل ثابتة لكل جسم ، على حدة ، فإننا نعلم أن $ v / r $ يجب أن يكون أيضًا ثابتًا مما يعني أن الأجسام التي تدور بعيدًا عن مركز الباري يجب أن تكون بالضرورة تدور بشكل أسرع والعكس صحيح. بالعكس.

الآن بالطبع هذا التفسير المبسط يصلح لجسمين. بمجرد رمي أكثر من جثتين ، تصبح الأمور أكثر تعقيدًا ويمكن لمركز الثقل التحرك ، مما يتسبب في حركات أكثر تعقيدًا.

أعتقد أنه إذا تغيرت سرعة كتلة واحدة فيما يتعلق بالأخرى ، فسيؤدي ذلك إلى إنشاء مركز ثقل متحرك تصطدم فيه الكتلتان أو ترمي بأخرى خارج المدار

هذا سؤال مختلف تمامًا. إذا كانت إحدى الكتلتين لها سرعة مدارية متفاوتة ، فهذا يعني أنها تكتسب أو تفقد الطاقة بواسطة آلية ما. يمكن أن يحدث هذا من خلال أشياء مثل تفاعلات المد والجزر كما يحدث للأرض والقمر. كما هو مذكور أعلاه ، يجب أن تظل السرعة الزاوية ثابتة مما يعني أن الجسم الذي تتغير سرعته يجب أن يهاجر أيضًا باتجاه مركز الباري أو بعيدًا عنه ، مما قد يؤدي إلى حدوث تصادم أو هروب. نظرًا لأن السرعة المدارية للقمر يتم تسريعها من خلال تفاعلات المد والجزر ، فإنه يتحرك بعيدًا نتيجة لذلك. مثال آخر قد يكون ثقبين أسودين ينبعثان من موجات الجاذبية أثناء دورانهما والتي تنتشر الطاقة بعيدًا ، وبالتالي فهي سرعات مدارية ، مما يؤدي إلى الاقتراب من بعضهما البعض حتى تصطدم.


G صغير جدًا ، بالوحدات المترية: G = 6.7x10 -11 نيوتن متر 2 / كيلوغرام 2 نيوتن هي الوحدة المترية للقوة: 4.41 نيوتن = 1 باوند من G يجب قياسها تجريبيًا. [ملاحظة: G هو "ثابت اقتران الجاذبية" ، الذي يحدد حجم القوة بين جسمين كبيرين مفصولين بمسافة معينة. نظرًا لأن الجاذبية هي أضعف قوى الطبيعة الأربعة الأساسية ، فمن الصعب قياس G تجريبيًا بأي دقة. لم يكن نيوتن يعرف قيمة G ، لكنه كان قادرًا على طرح مشاكله بطرق يسقطها G رياضيًا ، وبالتالي كانت بالنسبة له مجرد تناسب ثابت. تم إجراء أول قياس تجريبي لـ G بواسطة الفيزيائي البريطاني هنري كافنديش في تجارب أجريت بين عامي 1797 و 1798 ، باستخدام ميزان الالتواء لقياس قوة الجاذبية بين وزنين في المختبر. ومع ذلك ، كان الهدف الواضح لكافنديش من هذه التجربة هو قياس كثافة الأرض بدقة - ومن ثم الكتلة - ولم يذكر G في عمله أو اشتق قيمة لها صراحةً. مثل نيوتن ، طرح كافنديش مشاكله بحيث ألغى G رياضيًا. سنفعل الشيء نفسه كثيرًا في هذا الفصل ، ولهذا السبب لن تحتاج أبدًا إلى معرفة G عمليًا للامتحانات أو مشاكل الواجبات المنزلية. لم يكن الأمر كذلك حتى وقت لاحق (بعد 75 عامًا تقريبًا) حتى تم استخدام بياناته التجريبية من قبل الآخرين لاشتقاق قيمة لـ G. ولم يكن علماء الفلك بحاجة إلى معرفة G حتى يتمكنوا من ذلك ، من بين أمور أخرى حتى الجزء الأخير من القرن التاسع عشر. الأشياء ، حساب كثافات الأجرام السماوية مثل القمر والشمس.]

ما هي قوة الأرض على التفاحة؟ F = GMأرض متفاحة/ صأرض 2

ما هو تسارع التفاحة (قانون نيوتن الثاني للحركة): أتفاحة = F / متفاحة = GMأرض/ صأرض 2 = 9.8 متر / ثانية 2 لاحظ أن كتلة التفاحة (M.تفاحة) خارج المعادلة. هذا يعني أن عجلة الجاذبية هي مستقل من كتلة التفاحة ، تمامًا كما أوضح جاليليو سابقًا.


مداران جسمان متساويان في الكتلة - علم الفلك

أصول علم الفلك الحديث

قوانين كبلر لحركة الكواكب

  • قانون كبلر الأول: تدور الكواكب حول الشمس في شكل قطع ناقص مع تركيز واحد على الشمس.
  • قانون كبلر الثاني: خط وهمي يمتد من الشمس إلى الكوكب يكتسح مناطق متساوية في أوقات متساوية.
  • قانون كبلر الثالث: يتناسب مربع الفترة المدارية للكوكب مع مكعب المحور شبه الرئيسي للمدار (أوص 2 = كا 3 ).

من المهم أن ندرك أن القانونين الثاني والثالث قانونان كميان ، مما يعني أنه يمكن للمرء حساب المسافات الفعلية (المحاور شبه الرئيسية) والسرعات ، وما إلى ذلك ، باستخدامها. بالنسبة لحالة الكواكب التي تدور حول الشمس ، على سبيل المثال ، مع ص في سنوات و أ في الوحدات الفلكية (AU) ، يصبح القانون الثالث عادلاً: ص 2 = أ 3. هذا أمر تافه بالنسبة للأرض - ص = سنة واحدة ومحور شبه رئيسي أ = 1 AU ، ولكن يمكننا أيضًا قياس فترة كوكب الزهرة ( ص = 0.615 سنة) ، وابتعد عن الشمس ( أ = 0.723 AU). سنرى فيما بعد ما الثابت ك في الصيغة ص 2 = كا 3 ، بحيث يمكن تمديد قانون كبلر الثالث إلى مدارات أخرى ، مثل القمر حول الأرض.

عبور الزهرة قرص الشمس في 2004 يونيو 08
(الصورة التقطها ديل جاري)


محتويات

يمكن إعطاء البيان الرياضي لمسألة الأجسام الثلاثة من حيث المعادلات النيوتونية للحركة لمواضع المتجهات r i = (x i، y i، z i) > = (x_، ص، z_)> من ثلاثة أجسام متفاعلة جاذبيًا مع كتل m i > :

حيث G < displaystyle G> هو ثابت الجاذبية. [3] [4] هذه مجموعة من 9 معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية. يمكن أيضًا تحديد المشكلة بشكل متكافئ في شكليات هاميلتون ، وفي هذه الحالة يتم وصفها بمجموعة من 18 معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ، واحدة لكل مكون من المواضع r i >> والعزم p i > > :

مشكلة ثلاثية الجسم المقيدة تحرير

في ال مشكلة ثلاثة الجسم المقيدة، [3] جسم ذو كتلة ضئيلة ("الكوكب") يتحرك تحت تأثير جسمين ضخمين. نظرًا لوجود كتلة ضئيلة ، قد يتم إهمال القوة التي يمارسها الكوكب على الجسمين الهائلين ، ويمكن تحليل النظام وبالتالي يمكن وصفه من حيث حركة الجسمين. عادةً ما تؤخذ حركة الجسمين هذه على شكل مدارات دائرية حول مركز الكتلة ، ويفترض أن الكوكب الكوكبي يتحرك في المستوى المحدد بواسطة المدارات الدائرية.

مشكلة الأجسام الثلاثة المقيدة أسهل في التحليل نظريًا من المشكلة الكاملة. إنه ذو فائدة عملية أيضًا لأنه يصف بدقة العديد من مشاكل العالم الحقيقي ، وأهم مثال على ذلك هو نظام الأرض والقمر والشمس. لهذه الأسباب ، فقد احتلت دورًا مهمًا في التطور التاريخي لمشكلة الأجسام الثلاثة.

تعديل الحل العام

لا يوجد حل عام مغلق الشكل لمشكلة الأجسام الثلاثة ، [1] مما يعني أنه لا يوجد حل عام يمكن التعبير عنه من حيث عدد محدد من العمليات الحسابية القياسية. علاوة على ذلك ، فإن حركة الأجسام الثلاثة بشكل عام غير متكررة ، إلا في حالات خاصة. [5]

ومع ذلك ، في عام 1912 ، أثبت عالم الرياضيات الفنلندي كارل فريتيوف سوندمان وجود حل تحليلي لمشكلة الأجسام الثلاثة في شكل سلسلة قوى من حيث صلاحيات ر 1/3. [6] تتقارب هذه السلسلة لجميع t الحقيقي ، باستثناء الظروف الأولية المقابلة للزخم الزاوي الصفري. من الناحية العملية ، فإن التقييد الأخير غير مهم لأن الظروف الأولية مع زخم زاوي صفري نادرة ، حيث يقيس Lebesgue صفرًا.

قضية مهمة في إثبات هذه النتيجة هي حقيقة أن نصف قطر التقارب لهذه السلسلة يتم تحديده من خلال المسافة إلى أقرب تفرد. لذلك ، من الضروري دراسة التفردات المحتملة لمشاكل الأجسام الثلاثة. كما سيتم مناقشته بإيجاز أدناه ، فإن التفردات الوحيدة في مشكلة الأجسام الثلاثة هي الاصطدامات الثنائية (التصادمات بين جسيمين في لحظة واحدة) والاصطدامات الثلاثية (الاصطدامات بين ثلاثة جسيمات في لحظة واحدة).

التصادمات ، سواء كانت ثنائية أو ثلاثية (في الواقع ، أي رقم) ، غير محتملة إلى حد ما ، حيث ثبت أنها تتوافق مع مجموعة من الشروط الأولية للقياس صفر. ومع ذلك ، لا يوجد معيار معروف يمكن وضعه على الحالة الأولية من أجل تجنب الاصطدامات للحل المقابل. لذلك تكونت استراتيجية Sundman من الخطوات التالية:

  1. استخدام التغيير المناسب للمتغيرات لمواصلة تحليل الحل بعد الاصطدام الثنائي ، في عملية تعرف باسم التنظيم.
  2. إثبات أن الاصطدامات الثلاثية تحدث فقط عند الزخم الزاوي إل يختفي. من خلال قصر البيانات الأولية على إل0 ، أزال كل شيء حقيقة التفردات من المعادلات المحولة لمسألة الأجسام الثلاثة.
  3. تبين أن إذا إل0 ، إذن لا يمكن أن يكون هناك تصادم ثلاثي فقط ، ولكن النظام مقيد بشكل صارم بعيدًا عن التصادم الثلاثي. هذا يعني ، باستخدام نظرية وجود كوشي للمعادلات التفاضلية ، أنه لا توجد فرادات معقدة في الشريط (اعتمادًا على قيمة إل ) في الطائرة المعقدة المتمركزة حول المحور الحقيقي (ظلال كوفاليفسكايا).
  4. ابحث عن تحويل امتثالي يرسم هذا الشريط في قرص الوحدة. على سبيل المثال ، إذا س = ر 1/3 (المتغير الجديد بعد التسوية) و if | ln س | ≤ β , [التوضيح المطلوب] ثم تم إعطاء هذه الخريطة بواسطة

هذا ينهي إثبات نظرية سوندمان.

لسوء الحظ ، فإن السلسلة المقابلة تتقارب ببطء شديد. أي أن الحصول على قيمة الدقة الهادفة يتطلب العديد من المصطلحات التي تجعل هذا الحل قليل الاستخدام العملي. في الواقع ، في عام 1930 ، حسب David Beloriszky أنه إذا كان من المقرر استخدام سلسلة Sundman في الملاحظات الفلكية ، فإن الحسابات ستشمل 10.8000.000 مصطلح على الأقل. [7]

تحرير حلول الحالات الخاصة

في عام 1767 ، وجد ليونارد أويلر ثلاث عائلات من الحلول الدورية التي تكون فيها الكتل الثلاث على خط واحد في كل لحظة. انظر إلى مشكلة أويلر المكونة من ثلاثة أجسام.

في عام 1772 ، وجد لاغرانج مجموعة من الحلول تشكل فيها الكتل الثلاث مثلثًا متساوي الأضلاع في كل لحظة. جنبًا إلى جنب مع حلول أويلر الخطية ، تشكل هذه الحلول التكوينات المركزية لمشكلة الأجسام الثلاثة. هذه الحلول صالحة لأي نسب جماعية ، وتتحرك الجماهير على الأشكال البيضاوية Keplerian. هذه العائلات الأربع هي الحلول الوحيدة المعروفة التي توجد لها صيغ تحليلية واضحة. في الحالة الخاصة لمشكلة الأجسام الثلاثة الدائرية المقيدة ، تصبح هذه الحلول ، التي يتم عرضها في إطار يدور مع الانتخابات التمهيدية ، نقاطًا يشار إليها باسم L1، لام2، لام3، لام4، و أنا5، وتسمى نقاط لاغرانج ، مع L.4 و أنا5 كونها أمثلة متماثلة لحل لاغرانج.

في العمل الذي تم تلخيصه في 1892-1899 ، أسس Henri Poincaré وجود عدد لا حصر له من الحلول الدورية لمشكلة الأجسام الثلاثة المقيدة ، جنبًا إلى جنب مع تقنيات لاستمرار هذه الحلول في مشكلة الأجسام الثلاثة العامة.

في عام 1893 ، ذكر مايسل ما يسمى الآن بمشكلة فيثاغورس المكونة من ثلاثة أجسام: ثلاث كتل في النسبة 3: 4: 5 موضوعة في حالة راحة عند رؤوس مثلث قائم الزاوية 3: 4: 5. قام بوراو [8] بالتحقيق في هذه المشكلة بشكل أكبر في عام 1913. في عام 1967 ، أسس كل من فيكتور سزيبيلي وسي. فريدريك بيترز الهروب النهائي لهذه المشكلة باستخدام التكامل العددي ، مع إيجاد حل دوري قريب في نفس الوقت. [9]

في السبعينيات ، وجد كل من ميشيل هنون وروجر إيه بروكي مجموعة من الحلول التي تشكل جزءًا من نفس عائلة الحلول: عائلة بروكي-هينون-هادجيديمتريو. في هذه العائلة ، تمتلك الكائنات الثلاثة جميعًا نفس الكتلة ويمكن أن تظهر أشكالًا رجعية ومباشرة. في بعض حلول Broucke ، يتبع اثنان من الجثث نفس المسار. [10]

في عام 1993 ، تم اكتشاف حل زخم زاوي صفري بثلاث كتل متساوية تتحرك حول شكل ثمانية عدديًا بواسطة الفيزيائي كريس مور في معهد سانتا في. [12] تم إثبات وجودها الرسمي في وقت لاحق في عام 2000 من قبل عالم الرياضيات آلان تشينسينر وريتشارد مونتغمري. [13] [14] وقد ثبت أن الحل مستقر عدديًا للاضطرابات الصغيرة في الكتلة والمعلمات المدارية ، مما يثير احتمالًا مثيرًا للاهتمام بأن مثل هذه المدارات يمكن ملاحظتها في الكون المادي. ومع ذلك ، فقد قيل إن هذا الحدوث غير محتمل لأن مجال الاستقرار صغير. على سبيل المثال ، احتمال حدث تشتت ثنائي [ التوضيح المطلوب ] مما أدى إلى مدار على شكل رقم 8 تم تقديره ليكون جزءًا صغيرًا من 1٪. [15]

في عام 2013 ، اكتشف الفيزيائيان ميلوفان شوفاكوف وفيليكو ديميتراشينوفيتش من معهد الفيزياء في بلغراد 13 عائلة جديدة من الحلول لمشكلة الأجسام الثلاثة المتساوية الكتلة ذات الزخم الزاوي الصفري. [5] [10]

في عام 2015 ، اكتشفت الفيزيائية آنا هودومال 14 عائلة جديدة من الحلول لمشكلة الأجسام الثلاثة المتساوية الكتلة ذات الزخم الزاوي الصفري. [16]

في عام 2017 ، وجد الباحثان Xiaoming Li و Shijun Liao 669 مدارًا دوريًا جديدًا لمشكلة الأجسام الثلاثة المتساوية الكتلة ذات الزخم الزاوي الصفري. [17] تبع ذلك في عام 2018 1223 حلًا جديدًا إضافيًا لنظام الزخم الصفري للكتل غير المتكافئة. [18]

في عام 2018 ، أبلغ لي ولياو عن 234 حلًا لمشكلة الأجسام الثلاثة غير المتكافئة "السقوط الحر". [19] تبدأ صيغة السقوط الحر لمشكلة الأجسام الثلاثة مع سكون الأجسام الثلاثة. لهذا السبب ، لا تدور الكتل في تكوين السقوط الحر في "حلقة" مغلقة ، ولكنها تتحرك للأمام وللخلف على طول "مسار" مفتوح.

المناهج العددية تحرير

باستخدام الكمبيوتر ، قد يتم حل المشكلة بدقة عالية باستخدام التكامل العددي على الرغم من أن الدقة العالية تتطلب قدرًا كبيرًا من وقت وحدة المعالجة المركزية.

يعود تاريخ مشكلة الجاذبية لثلاث أجساد بمعناها التقليدي إلى عام 1687 ، عندما نشر إسحاق نيوتن كتابه مبادئ (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica). في الاقتراح 66 من الكتاب 1 من مبادئواتخذ نيوتن الخطوات الأولى في تعريف ودراسة مشكلة حركات ثلاثة أجسام ضخمة تخضع لتأثيرات الجاذبية المضطربة بشكل متبادل. في الاقتراحات من 25 إلى 35 من الكتاب 3 ، اتخذ نيوتن أيضًا الخطوات الأولى في تطبيق نتائجه من الاقتراح 66 على نظرية القمر ، وهي حركة القمر تحت تأثير جاذبية الأرض والشمس.

تمت معالجة المشكلة الجسدية بواسطة Amerigo Vespucci وبعد ذلك بواسطة Galileo Galilei في عام 1499 ، استخدم Vespucci معرفة موقع القمر لتحديد موقعه في البرازيل. أصبحت ذات أهمية تقنية في عشرينيات القرن الثامن عشر ، حيث سيكون الحل الدقيق قابلاً للتطبيق على الملاحة ، وتحديدًا لتحديد خط الطول في البحر ، والذي تم حله عمليًا من خلال اختراع جون هاريسون للكرونومتر البحري. ومع ذلك ، كانت دقة نظرية القمر منخفضة ، بسبب التأثير المربك للشمس والكواكب على حركة القمر حول الأرض.

حاول كل من جان لو روند دالمبيرت وأليكسيس كليروت ، اللذان طورا منافسة طويلة الأمد ، تحليل المشكلة بدرجة ما من العمومية ، فقدموا تحليلاتهم الأولى المتنافسة إلى الأكاديمية الملكية للعلوم في عام 1747. [20] كان ذلك مرتبطًا بـ بحثهم ، في باريس خلال أربعينيات القرن الثامن عشر ، أن اسم "مشكلة الأجسام الثلاثة" (بالفرنسية: Problème des trois Corps) شائع الاستخدام. يشير تقرير نشره جان لو روند دالمبرت عام 1761 إلى أن الاسم قد استخدم لأول مرة في عام 1747. [21]

في عام 2019 ، قام Breen et al. أعلن عن حل سريع للشبكات العصبية ، تم تدريبه باستخدام التكامل العددي. [22]

يستخدم مصطلح "مشكلة الأجسام الثلاثة" أحيانًا بالمعنى الأكثر عمومية للإشارة إلى أي مشكلة جسدية تنطوي على تفاعل ثلاثة أجسام.

التناظرية الميكانيكية الكمية لمشكلة الجاذبية ثلاثية الأجسام في الميكانيكا الكلاسيكية هي ذرة الهليوم ، حيث تتفاعل نواة الهليوم وإلكترونان وفقًا لتفاعل كولوم المربّع العكسي. مثل مشكلة الجاذبية ثلاثية الأجسام ، لا يمكن حل ذرة الهيليوم تمامًا. [23]

ومع ذلك ، في كل من ميكانيكا الكم والميكانيكا الكلاسيكية ، توجد قوانين تفاعل غير بديهية إلى جانب قوة التربيع العكسية التي تؤدي إلى حلول تحليلية دقيقة ثلاثية الأجسام. يتكون أحد هذه النماذج من مزيج من التجاذب التوافقي وقوة المكعب العكسي البغيضة. [24] يعتبر هذا النموذج غير بديهي لأنه مرتبط بمجموعة من المعادلات التفاضلية غير الخطية التي تحتوي على فرادات (مقارنة ، على سبيل المثال ، بالتفاعلات التوافقية وحدها ، والتي تؤدي إلى نظام سهل الحل من المعادلات التفاضلية الخطية). في هذين المجالين ، يكون مشابهًا للنماذج (غير القابلة للذوبان) التي لها تفاعلات كولوم ، ونتيجة لذلك تم اقتراحها كأداة لفهم الأنظمة الفيزيائية بشكل حدسي مثل ذرة الهليوم. [24] [25]

تمت دراسة مشكلة الجاذبية الثلاثية أيضًا باستخدام النسبية العامة. فيزيائيًا ، تصبح المعالجة النسبية ضرورية في الأنظمة ذات مجالات الجاذبية القوية جدًا ، مثل قرب أفق الحدث للثقب الأسود. ومع ذلك ، فإن مشكلة النسبية أكثر صعوبة بكثير مما كانت عليه في ميكانيكا نيوتن ، وهناك حاجة إلى تقنيات عددية متطورة. حتى مشكلة الجسمين الكاملة (أي النسبة التعسفية للكتل) ليس لها حل تحليلي صارم في النسبية العامة. [26]

مشكلة الأجسام الثلاثة هي حالة خاصة لمسألة n -body ، والتي تصف كيفية تحرك n من الأجسام تحت إحدى القوى الفيزيائية ، مثل الجاذبية. هذه المشكلات لها حل تحليلي عالمي في شكل سلسلة قوى متقاربة ، كما أثبت كارل إف. ن = 3 وبواسطة Qiudong Wang لـ ن & GT 3 (انظر مشكلة n -body للحصول على التفاصيل). ومع ذلك ، فإن سلسلتي Sundman و Wang تتقاربان ببطء شديد لدرجة أنهما غير مجديين للأغراض العملية [27] لذلك ، من الضروري حاليًا تقريب الحلول عن طريق التحليل العددي في شكل تكامل عددي أو ، في بعض الحالات ، تقريبية المتسلسلة المثلثية الكلاسيكية (انظر ن محاكاة الجسم). الأنظمة الذرية ، على سبيل المثال الذرات والأيونات والجزيئات ، يمكن معالجتها من حيث مشكلة الجسم الكمومي. من بين الأنظمة الفيزيائية الكلاسيكية ، عادةً ما تشير مشكلة n -body إلى مجرة ​​أو إلى مجموعة من المجرات ، ويمكن أيضًا التعامل مع أنظمة الكواكب ، مثل النجوم والكواكب وأقمارها الصناعية ، على أنها أنظمة n -body. يتم التعامل مع بعض التطبيقات بشكل ملائم من خلال نظرية الاضطراب ، حيث يُنظر إلى النظام على أنه مشكلة جسدين بالإضافة إلى قوى إضافية تسبب انحرافات عن مسار افتراضي ثنائي الجسم غير مضطرب.

المجلد الأول للمؤلف الصيني Liu Cixin ذكرى ماضي الأرض ثلاثية بعنوان مشكلة الأجسام الثلاثة ويتميز بمشكلة الأجسام الثلاثة كجهاز مخطط مركزي. [28]


الإجابات والردود

حسنًا ، يفترض د. تونغ أن بعض التفاصيل المهمة معروفة. لديك جسيمان كتلتهما ## m_1 و m_2 ## ومتجهات إحداثيات تصف موقعهما اللحظي في إطار المعمل ## bf(ر) ، bf(ر) ##. تبلغ القدرة الكهروستاتيكية / الجاذبية ثنائية الجسم ## V ( vert bf_1 - bf_2 vert) ##.
بعد ذلك ، من أجل حل النظام المقترن المكون من 6 وحدات ODE من قانون نيوتن الثاني المطبق على كل جسيم ، تحتاج إلى عمل ما يسمى & quotفصل الحركة& quot في حركة CoM وحركة جسيم افتراضي ذي كتلة مخفضة حول CoM. من أجل التبسيط ، نظرًا لأن CoM عبارة عن IRF ، فإنك تقوم بتحويل الوصف من نظام المختبر إلى نظام CoM ويتحول النظام المقترن أصلاً المكون من 6 وحدات ODE إلى وحدات ODE غير المقترنة.

اقرأ المزيد هنا: https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem#Reduction_to_two_independent،_one-body_problems (بعيدًا عن رأسي لا يمكنني تحديد كتاب مدرسي للميكانيكا الكلاسيكية يقدم كل التفاصيل والحسابات الممكنة).

تحرير لاحق: في الأسفل يجد المرء علاجًا كاملاً من قبل المستخدم vanhees71 ، لذلك لا داعي للبحث عنه في كتاب مدرسي للميكانيكا الكلاسيكية.

عندما ## r = 0 ## ، يكون الفصل بين الجماهير ## 0 ## ، مما يعني أن الجماهير في نفس المكان ، أي COM المشترك.

في السيناريو المداري ## r = 0 ## لا يحدث أبدًا. يحدث فقط في حالة الاصطدام المباشر.

إنها خدعة رياضية في الأساس. اتضح أن مسار الكتلة ## m_1 ## في نظام جسمين هو نفسه كتلة ## m_1m_2 / (m_1 + m_2) ## في مدار حول كتلة ## m_1 + m_2 ## مثبتة (لا لا نسأل ما الذي تم تثبيته عليه) في مركز الكتلة. هذا نظام أسهل بكثير للتعامل معه رياضيًا.

لم ألق نظرة على ملاحظات تونغ ، لكن مقالة ويكي المرتبطة أعلاه تثبت هذه النتيجة.

أعتقد أنني أشعر بالارتباك بين كتلتين حقيقيتين والكتلة & quotimory & quot ذات الكتلة المنخفضة. عندما أصل إلى معادلة المدار

أين ε هو الانحراف اللامركزي للمدار الذي أفترضه أن r هي المسافة من COM الموجودة في بؤرة القطع الناقص إلى إحدى الكتل؟ هذا يعني أنه في الحالة العامة حيث لا يقع COM في إحدى الكتل ، فإن r في معادلة المدار ليست هي المسافة بين الكتلتين. هل هذا صحيح ؟

هذا صحيح: r في معادلة المدار لـ m1 هي المسافة بين m1 و CoM.

تحرير: هذا ليس صحيحًا بالنسبة لطريقة الكتلة المخفضة كما هو مذكور في OP أدناه

في أبسط نموذج للنظام الشمسي ، تكون الشمس ثابتة في المركز. في المستوى التالي من التعقيد ، تتحرك الشمس تقريبًا بقطرها ، من تأثير الكواكب الأخرى ، وأهمها كوكب المشتري.

على أي حال ، في الواقع ، ليست الشمس والأرض مشكلة فردية من شخصين.

علاوة على ذلك ، فإن النموذج البديل هو أن الشمس تدور حول الأرض يوميًا ، وليس سنويًا ، بسبب دوران الأرض.

لنحل المعادلات. هذا أسهل من الكثير من النصوص!

معادلات الحركة للشمس (الموضع ## vec_1 ##) والكوكب (الموضع ## vec_2 ##) هي
$
يبدأ
m_1 ddot < vec> _1 & أمبير = - فارك<| vec_1- vec_2 | ^ 3> ( vec_1- vec_2),\
م_2 ddot < vec> _2 & أمبير = - فارك<| vec_1- vec_2 | ^ 3> ( vec_2- vec_1)
نهاية$
إضافة كلا المعادلتين يؤدي إلى
$ M ddot < vec>=0$
مع
$ vec= فارك <1> (م_1 vec_1 + م_2 vec_2)، quad M = m_1 + m_2. $
ضرب 2 EoM. مع ## m_1 / M ## والأولى بـ ## m_2 / M ## ويؤدي طرح كلا المعادلتين إلى
$ mu ddot < vec> = - فارك vec,$
أين
$ mu = frac، رباعي vec= vec_2- vec_1.$
لذلك اختزلنا معادلة الحركة لمشكلة الجسمين إلى معادلة الحركة لمركز كتلته ، والذي يتحرك بسرعة ثابتة ، ومعادلة الحركة لشبه جسيم بكتلة ## mu ## (& quot ؛ كتلة مخفضة & quot ) بقوة ناتجة عن تفاعل الجاذبية بين الشمس والكوكب. يمكننا اختيار إطارنا المرجعي بالقصور الذاتي بحيث يظل ثابتًا وبالتالي ## vec= vec <0> = نص## هو أصل هذا الإطار المرجعي بالقصور الذاتي الجديد.


9: مشكلة الجسد في بعدين

  • بمساهمة من جيريمي تاتوم
  • أستاذ فخري (الفيزياء وعلم الفلك) بجامعة فيكتوريا

نوضح في هذا الفصل كيف يمكن اشتقاق قوانين Kepler & rsquos من قوانين Newton & rsquos للحركة والجاذبية والحفاظ على الزخم الزاوي ، كما نشتق الصيغ للطاقة والزخم الزاوي في المدار. نوضح أيضًا كيفية حساب موضع كوكب في مداره كدالة زمنية. سيكون من الحماقة الشروع في هذا الفصل دون الإلمام بالكثير من المواد التي يغطيها الفصل 2. المناقشة هنا تقتصر على بعدين. سيتم التعامل مع المشكلة المقابلة في ثلاثة أبعاد ، وكيفية حساب التقويم الفلكي لكوكب أو مذنب في السماء ، في الفصل 10.

  • 9.1: قوانين كبلر قانون كبلر ورسكووس لحركة الكواكب هي كما يلي: 1. يتحرك كل كوكب حول الشمس في مدار عبارة عن قطع ناقص مع تركيز الشمس. 2. يكتسح متجه نصف القطر من الشمس إلى الكوكب مناطق متساوية في نفس الوقت. 3. مربعات فترات الكواكب متناسبة مع مكعبات محاورها شبه الرئيسية.
  • 9.2: قانون كبلر الثاني من قانون الحفاظ على الزخم الزاوي قانون كبلر الثاني. التي جادلت بأن الخط الذي ينضم إلى كوكب والشمس يكتسح مناطق متساوية خلال فترات زمنية متساوية ، يمكن اشتقاقه من الحفاظ على الزخم الزاوي.
  • 9.3: بعض وظائف الجماهير
  • 9.4: قوانين كبلر الأولى والثالثة من قانون الجاذبية لنيوتن
  • 9.5: الموقف في مدار إهليلجي
  • 9.6: الوضع في مدار مكافئ عندما يأتي مذنب a & ldquolong-period & rdquo من حزام أورت ، فإنه يأتي عادةً في مدار غريب الأطوار للغاية ، لا يمكننا أن نلاحظ منه سوى قوس قصير جدًا. وبالتالي ، غالبًا ما يكون من المستحيل تحديد الفترة أو المحور شبه الرئيسي بأي درجة من الموثوقية أو تمييز المدار عن القطع المكافئ. لذلك ، هناك مناسبة متكررة لفهم ديناميكيات المدار المكافئ.
  • 9.7: الوضع في مدار زائدي إذا واجه مذنب بين نجمي النظام الشمسي من الفضاء بين النجوم ، فإنه يتابع مدارًا زائديًا حول الشمس. حتى الآن ، لم يتم العثور على مذنب بمدار قطعي أصلي ، على الرغم من عدم وجود سبب معين لعدم العثور على مذنب في بعض الليالي. ومع ذلك ، قد يقترب مذنب ذو مدار شبه مكافئ من حزام أورت من كوكب المشتري في طريقه إلى النظام الشمسي الداخلي ، وقد يتشوش مداره في مدار قطعي.
  • 9.8: العناصر المدارية ومتجه السرعة في بعدين ، يمكن تحديد المدار بالكامل بواسطة أربعة عناصر مدارية. ثلاثة منهم تعطي حجم وشكل واتجاه المدار. هم ، على التوالي ، a و e و omega. العنصر الرابع ضروري لإعطاء معلومات حول مكان وجود الكوكب في مداره في وقت معين. عادةً ما يكون هذا هو وقت مرور الحضيض الشمسي.
  • 9.9: العناصر المتذبذبة من الناحية العملية ، يخضع المدار للاضطرابات ، ولا يتحرك الكوكب إلى أجل غير مسمى في المدار الذي يتم حسابه من متجهات الموقع والسرعة في وقت معين. المدار الذي يتم حسابه من متجهات الموقع والسرعة في لحظة معينة من الزمن يسمى المدار المتذبذب ، والعناصر المدارية المقابلة هي العناصر المتذبذبة.
  • 9.10: متوسط ​​المسافة في مدار إهليلجي يقال أحيانًا أن "a & rdquo في مدار إهليلجي هي المسافة & ldquomean & rdquo لكوكب من الشمس. في الواقع ، يمثل المحور شبه الرئيسي للمدار. سواء كان ذلك بمعنى أنه قد يكون & ldquomean Distance & rdquo يستحق لحظة من التفكير.

Tuhmbnail: جسمان لهما كتلة متشابهة يدوران حول مركز حجري مشترك خارجي لكلا الجسمين ، مع مدارات إهليلجية ونمط mdashty من النجوم الثنائية. (المجال العام ، Zhatt).


9.5: الموقف في مدار إهليلجي

  • بمساهمة من جيريمي تاتوم
  • أستاذ فخري (الفيزياء وعلم الفلك) بجامعة فيكتوريا

قد يرغب القارئ في الرجوع إلى القسم 2.3 ، وخاصة الجزء الذي يتعامل مع المعادلة القطبية إلى القطع الناقص ، لتذكير معاني الزوايا (& ثيتا ) ، (& أوميغا ) و (الخامس ) ، والتي ، في سياق فلكي ، تسمى ، على التوالي ، حجة خط العرض، ال حجة الحضيض و ال شذوذ حقيقي. في هذا القسم ، سأختار الخط الأولي للإحداثيات القطبية ليتزامن مع المحور الرئيسي للقطع الناقص ، بحيث يكون (& omega ) صفرًا و (& ثيتا = v ). إذن ، معادلة القطع الناقص هي


(نص

)

أفترض & rsquoll أن الكوكب في الحضيض في الوقت (t = T ) ، والهدف من هذا القسم هو إيجاد (v ) كدالة لـ (t ). المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص هو (أ ) ، مرتبطًا بالمستقيم شبه العريض

وتعطى الفترة من قبل

هنا ، من المفترض أن يكون الكوكب ذو الكتلة (م ) في مدار حول شمس الكتلة (م ) ، وأصل أو قطب الإحداثيات القطبية الموصوفة في المعادلة المرجع <9.6.1> هو الشمس ، وليس مركز كتلة النظام. كالعادة ، ( textbf = م + م).

لا يتحرك متجه نصف القطر من الشمس إلى الكوكب بسرعة ثابتة (في الواقع ، ينص قانون Kepler & rsquos الثاني على كيفية تحركه) ، ولكن يمكننا القول أنه ، على مدار مدار كامل ، يتحرك عند مسافة معدل السرعة الزاوية (2 & pi / P ). الزاوية ( frac <2 & pi>

(t-T) ) يسمى يعني الشذوذ من الكوكب في وقت (t & ناقص T ) بعد مرور الحضيض. يُشار إليه عمومًا بالحرف ( text) ، والتي تم إرهاقها بالفعل في هذا الفصل لمختلف الجماهير ووظائف الجماهير. بالنسبة إلى الانحراف المتوسط ​​، جرب & rsquoll هذا الخط: ( mathcal). هكذا

الخطوة الأولى في جهودنا لإيجاد (v ) كدالة لـ (t ) هي حساب شذوذ غريب الأطوار (E ) من الشذوذ المتوسط. تم تعريف هذا في الشكل ( text) من الفصل 2 ، وهو مستنسخ أدناه كشكل ( نص).

في الوقت (t & ناقص T ) ، المنطقة التي اجتاحها متجه نصف القطر هي المنطقة ( النص) ، ولأن متجه نصف القطر يكتسح مساحات متساوية في أوقات متساوية ، فإن هذه المنطقة تساوي الكسر ((t & minusT) / P ) من مساحة القطع الناقص. بمعنى آخر ، هذه المنطقة هي ( frac <(t-T) & pi a b>

). انظر الآن إلى المنطقة ( text^ رئيس). كل إحداثي في ​​تلك المنطقة يساوي (أ / ب ) مرات الإحداثي المقابل لـ ( نص) ، وبالتالي مساحة ( text^ Prime ) هو ( frac <(t-T) & pi a ^ 2>

). المنطقة ( text^ prime ) يساوي أيضًا القطاع ( text^ رئيس نص) ناقص المثلث ( نص^ رئيسى نص). مساحة القطاع ( نص^ رئيس نص) هو ( frac <2 & pi> times & pi a ^ 2 = frac <1> <2> Ea ^ 2 ) ، ومنطقة المثلث ( text^ رئيسى نص) هو ( frac <1> <2> a e times a sin E = frac <1> <2> a ^ 2 e sin E ).

[ so frac <(t-T) & pi a ^ 2>

= frac <1> <2> E a ^ 2 - frac <1> <2> a ^ 2 e sin E. ]


(نص

)

اضرب كلا الجانبين في (2 / a ^ 2 ) ، واسترجع المعادلة المرجع <9.6.4> ، ونصل إلى العلاقة المطلوبة بين متوسط ​​الانحراف ( mathcal) والشذوذ غريب الأطوار (هـ ):

[ رياضيات = E - e sin E. التسمية <9.6.5> العلامة <9.6.5> ]

الخطوة الأولى إذن هي حساب متوسط ​​الانحراف ( mathcal) من المعادلة المرجع <9.6.4> ، ثم احسب الانحراف اللامتراكز (E ) من المعادلة المرجع <9.6.5>. هذه معادلة متعالية ، لذلك أقول كلمة أو كلمتين حول حلها في لحظة ، ولكن دع & rsquos نضغط في الوقت الحالي. علينا الآن حساب الانحراف الحقيقي (v ) من الانحراف اللامركزي. يتم ذلك من هندسة القطع الناقص ، بدون ديناميكيات ، والعلاقة مذكورة في الفصل 2 ، المعادلتان 2.3.16 و 2.3.17 ج ، اللتان تمت إعادة إنتاجهما هنا:

من المتطابقات المثلثية ، يمكن أيضًا كتابة هذا

إذا تمكنا فقط من حل المعادلة ref <9.6.5> (معادلة كبلر ورسكووس) ، فسنكون قد فعلنا ما نريد & ndash أي إيجاد الشذوذ الحقيقي كدالة للوقت.

إن حل معادلة Kepler & rsquos سهل للغاية في الواقع. نكتبه كـ

[f (E) = E - e sin E - mathcal التسمية <9.6.6> العلامة <9.6.6> ]

منها [f ^ prime (E) = 1 - e cos E ، label <9.6.7> علامة <9.6.7> ]

وبعد ذلك ، وفقًا لعملية نيوتن رافسون المعتادة:

يصبح الحساب سريعًا بشكل غير عادي (خاصة إذا قمت بتخزين cos E وقمت بحسابه مرتين!).

افترض (e = 0.95 ) وأن (M = 245 ^ circ ). احسب (E ). Since the eccentricity is very large, one might expect the convergence to be slow, and also (E) is likely to be very different from (mathcal), so it is not easy to make a first guess for (E). You might as well try (245^circ) for a first guess for (E). You should find that it converges to ten significant figures in a mere four iterations. Even if you make a mindlessly stupid first guess of (E = 0^circ), it converges to ten significant figures in only nine iterations.

There are a few exceptional occasions, hardly ever encountered in practice, and only for eccentricities greater than about (0.99), when the Newton-Raphson method will not converge when you make your first guess for (E) equal to (mathcal). Charles and Tatum (Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 69, 357 (1998)) have shown that the Newton-Raphson method will دائما converge if you make your first guess (E = &pi). Nevertheless, the situations where Newton-Raphson will not converge with a first guess of (E = mathcal) are unlikely to be encountered except in almost parabolic orbits, and usually a first guess of (E = mathcal) is faster than a first guess of (E = &pi). &Tauhe chaotic behaviour of Kepler&rsquos Equation on these exceptional occasions is discussed in the above paper and also by Stumpf (Cel. Mechs. and Dyn. Astron. 74, 95 (1999)) and references therein.

Show that a good first guess for (E) is

Write a computer program in the language of your choice for solving Kepler&rsquos Equation. The program should accept (e) and (mathcal) as input, and return (E) as output. The Newton-Raphson iteration should be terminated when (|(E_< ext> &minus E_< ext>) / E_< ext>) is less than some small fraction to be determined by you.

An asteroid is moving in an elliptic orbit of semi major axis (3 ext) and eccentricity 0.6. It is at perihelion at time = 0. Calculate its distance from the Sun and its true anomaly one sidereal year later. You may take the mass of the asteroid and the mass of Earth to be negligible compared with the mass of the Sun. In that case, Equation ef <9.6.3>is merely

where (M) is the mass of the Sun, and, if (P) is expressed in sidereal years and (a) in ( ext), this becomes just (P^2 = a^3). Thus you can immediately calculate the period in years and hence, from Equation ef <9.6.4>you can find the mean anomaly. From there, you have to solve Kepler&rsquos Equation to get the eccentric anomaly, and the true anomaly from Equation 2.3.16 or 17. Just make sure that you get the quadrant right.

Write a computer program that will give you the true anomaly and heliocentric distance as a function of time since perihelion passage for an asteroid whose elliptic orbit is characterized by (a), (e). Run the program for the asteroid of the previous exercise for every day for a complete period.


Deriving Kepler's Formula for Binary Stars

Your astronomy book goes through a detailed derivation of the equation to find the mass of a star in a binary system. But first, it says, you need to derive Kepler's Third Law.

Consider two bodies in circular orbits about each other, with masses m1 and m2 and separated by a distance, a. The diagram below, shows the two bodies at their maximum separation. The distance between the center of mass and m1 هو1 and between the center of mass and m2 هو1.

Diagram showing two bodies in circular orbits about their center of mass.

The two bodies with their full orbits.

Detail of the center of mass and the relationship between the measurements of a, a1 و أ2

The center of mass is defined by:

Which can be solved for a1:

And, the total separation can be written as:

Using Equation (1) in Equation (2) gives

Now, set that aside for a moment and look at the forces working on m2. The forces acting on the mass are the gravitational force and centripetal acceleration from its orbital motion.

where G is the gravitational constant and &omega is the angular acceleration. Equating these gives:

Now, using Equation (3) to substitute for a2 gives:

We can replace &omega using the fact that P=2&pi/&omega by definition. وبالتالي،

Canceling, rearranging, and gathering the unknowns to the left side of the equation gives Kepler's Third Law.

For a distant binary system, it is be difficult to determine the separation of the two stars in the binary system, a. However, using spectroscopy, it might be possible to find the velocity of one or both of the stars in the system.

If we assume a circular orbit, we know that:

Using those, in Equation (2):

Then substituting Equation (5) in Equation (4),

Rearranging and canceling gives:

If we could see both stars in the binary system, this equation would work fine. However, there are times when we can only see one – for example, if there is a star in orbit with a black hole. For a circular orbit, we have:

Replacing this for v2 in Equation (6) gives:

Gathering the masses to one side gives:

One last thing about the velocity in this equation. When we observe a system, it is usually at an angle with respect to us. That means that we need to account for that in the above equation. The observed velocity is related to by orbital velocity by:

where vObs is the observed velocity and i is the angle of inclination of the system with respect to us. Substituting this into Equation (7), we finally get:

يا للعجب. (Your textbook didn't say, "whew", but it could have!)

Now you are ready to استعمال this equation.

Return to using this approach to solve the problem

Return to the beginning and try another approach


A REPORT ON SOME FEW-BODY PROBLEMS IN ATOMIC PHYSICS*

CHANNEL COUPLING ARRAY THEORY

The two-body problem can today be thought of as “solvable”. That is not quite the case for many three-body problems and it is anything but the case for almost all four-body problems. New formal and computational approaches are therefore to be welcomed.

Considerable formal progress was made with the introduction of the Faddeev equations. In these equations, the full wavefunction is “partitioned” into components, related to the pair of particles which interact first for other than atomic physics with its Coulomb potentials, the equations can be extremely helpful in studies of existence and convergence questions, but computationally they have perhaps not quite lived up to their original promise.

Some results using different but still interesting sets of partitions were reported on in two mini-invited paper at this conference, by Levin and by Kouri. The channel coupling array approach can be applied to bound state and to continuum problems, and can be formulated as coupled differential or integral equations further, as already noted, many different partitions are possible. To begin, we consider the determination of the energy E of the spatially symmetric ground state of a pair of electrons, numbered 1 and 2, in the field of a proton. We study the coupled equations for the channel components ψ1(r1، ص2) and ψ2(r1، ص2),

and where the K′s are kinetic energy operators. Note that the full Hamiltonian can be written as

Adding the coupled equations immediately gives

it follows that the coupled equations reduce to the Schrodinger equation, for both bound state and scattering problems. (It does not follow from the above discussion that the solutions ψ1 and ψ2 are unique, nor even everywhere finite)

The channel coupling array theory, in integral equation form, had been applied previously to low energy electron-hydrogen atom scattering, with reasonable success. The conference report by Levin contains some results for the same scattering problem obtained with the coupled differential equations above the results were neither much better nor much worse than those obtained by more standard approaches. The report also contains some bound state calculations the bound state area is one to which the theory has only recently been applied. The first bound state result is the binding energy of H − . In my opinion, the result is not very impressive. On the other hand, the results of the determination of the energy E(R) of an electron in the field of two protons fixed at a separation R, and of the equilibrium position, are quite impressive. These results are obtained from the coupled equations given above, with H1, H2، الخامس1 and V2 redefined. The details are in Levin's report.

Not many results have been obtained thus far, and one cannot yet pinpoint the problems for which the approach can be expected to be particularly useful. While waiting for further results, it may be worthwhile to look at ψ1 and ψ2 in slightly more detail. Levin and his co-workers interpret ψ1 and ψ2 for scattering and bound state problems) in terms of the asymptotic behavior in different channels. With the understanding that I have had no time to consider this particular point, let me consider a slightly different viewpoint for bound state problems. Considering again two electrons in the field of a proton, in the spatially symmetric ground state, we begin by noting that ψ1 = ψ2 = 1/2 ψ does ليس represent a solution of the coupled equations. Rather, since ψ(1,2) = ψ(2,1), it follows that ψ1 and ψ2 can be written as

where Ω(1, 2) = -ω(2,1). In assessing the merits of the approach, it should be brone in mind that it requires the estimation not only of ψ but of Ω. Only if the additional effort involved in estimating Ω is more than compensated for by the accuracy achieved can the approach be considered useful. Hopefully, the Ω might somehow build in some of the more relevant dynamics. On inserting the expressions for ψ1 and ψ2 in terms of ψ and ω into the coupled equations, and subtracting one from the other, Ω is found to satisfy

This equation may possibly help in the interpretation of the physical significance of ω(1,2).

Note too that the coupled equations can be cast in matrix form, ( H ˜ − E 1 ˜ ) ψ → = 0 , where the column vector ψ → has elements ψ1 and ψ2, and where the matrix H ˜ is not Hermitean. This need not be a source of real difficulty, but one must formulate the calculational procedure appropriately if the variational principles for the energy and for scattering parameters are to be preserved.

Apart from its possible numerical use, the theory offers an alternative approach in the formal introduction of exchange effects. Tobocoman recently used the approach, in conjunction with the Feshbach projection operator technique, to obtain exchange effects in the theory of radiative decay.

Many aspects of scattering theory are being reexamined within the context of the channel coupling array theory. In a paper at the conference, Kouri and Goldflam derived a new form for the optical potential U ˜ α for a model problem in which only two arrangements, α and β, are present. Thus, the leading term in U ˜ α is given by PVα Gβ + VβP, where Gβ is a Green's function and P is a projection operator onto the elastic scattering state this is as opposed to the leading term PVαP in Feshbach's approach. The new form of the leading term thus has more built into it in particular, it is energy dependent and implies the opening of the second channel at the appropriate energy. Many numerical calculations will have to be made before one will know the advantages which can be extracted by utilizing the freedom available in the channel coupling array approach, but the approach does allow large numbers of (equivalent) starting points, and different starting points suggest and allow different approximations with different resultant accuracy. Thus, for example, the above form U ˜ α gives a connection between channels α and β, a connection more difficult to obtain in the Feshbach approach.


9.1: Kepler's Laws

  • Contributed by Jeremy Tatum
  • Emeritus Professor (Physics & Astronomy) at University of Victoria

Kepler&rsquos law of planetary motion (the first two announced in 1609, the third in 1619) are as follows:

1. Every planet moves around the Sun in an orbit that is an ellipse with the Sun at a focus.
2. The radius vector from Sun to planet sweeps out equal areas in equal times.
3. The squares of the periods of the planets are proportional to the cubes of their semi major axes.

The first law is a consequence of the inverse square law of gravitation. An inverse square law of attraction will actually result in a path that is a conic section &ndash that is, an ellipse, a parabola or a hyperbola, although only an ellipse, of course, is a closed orbit. An inverse square law of repulsion (for example, (&alpha)-particles being deflected by gold nuclei in the famous Geiger-Marsden experiment) will result in a hyperbolic path. An attractive force that is directly proportional to the first power of the distance also results in an elliptical path (a Lissajous ellipse) - for example a mass whirled at the end of a Hooke&rsquos law elastic spring - but in that case the centre of attraction is at the centre of the ellipse, rather than at a focus.

We shall derive, in Section 9.5, Kepler&rsquos first and third laws from an assumed inverse square law of attraction. The problem facing Newton was the opposite: Starting from Kepler&rsquos laws, what is the law of attraction governing the motions of the planets? To start with, he had to invent the differential and integral calculus. This is a far cry from the popular notion that he &ldquodiscovered&rdquo gravity by seeing an apple fall from a tree.

The second law is a consequence of conservation of angular momentum, and would be valid for any law of attraction (or repulsion) as long as the force was entirely radial with no transverse component. We derive it in Section 9.3.

Although a full treatment of the first and third laws awaits Section 9.5, the third law is trivially easy to derive in the case of a circular orbit. For example, if we suppose that a planet of mass (m) is in a circular orbit of radius (a) around a Sun of mass (M), (M) being supposed to be so much larger than (m) that the Sun can be regarded as stationary, we can just equate the product of mass and centripetal acceleration of the planet, (ma&omega^2), to the gravitational force between planet and Sun, (GMm/a^2) and, with the period being given by (P = 2&pi/&omega), we immediately obtain the third law:

The reader might like to show that, if the mass of the Sun is not so high that the Sun&rsquos motion can be neglected, and that planet and Sun move in circular orbits around their mutual centre of mass, the period is

Here (a) is the distance between Sun and planet.

Express the period in terms of (a_1), the radius of the planet&rsquos circular orbit around the centre of mass.


شاهد الفيديو: من هو العالم فيثاغورس (كانون الثاني 2023).